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2022年7月18日，由中國科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院和中國科學(xué)院預(yù)測科學(xué)研究中心共同舉辦的2022世界計量經(jīng)濟學(xué)會“亞洲計量經(jīng)濟學(xué)與統(tǒng)計學(xué)暑期學(xué)?！闭介_啟，邀請知名計量經(jīng)濟學(xué)與統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域的專家授課，分享最新理論前沿。

Oliver Linton 教授應(yīng)邀于7月18日下午和20日下午為暑期學(xué)校學(xué)員做精彩授課教學(xué)。

Oliver Linton是英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院院士、政治經(jīng)濟學(xué)教授，英國社會科學(xué)院院士，計量經(jīng)濟學(xué)會和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)會會士。其主要研究領(lǐng)域為非參數(shù)和半?yún)?shù)方法以及實證金融，曾在包括Econometrica、Journal of Econometrics、Econometric theory等眾多國際頂級經(jīng)濟學(xué)刊物上發(fā)表百余篇學(xué)術(shù)成果。

7月18日下午，Linton教授第一次授課帶來題為“Nonparametric Methods in High Frequency and Low Frequency”的講座。

首先，Linton教授介紹了連續(xù)時間模型與數(shù)理金融的密切關(guān)系，并且強調(diào)了在連續(xù)時間框架下對高頻數(shù)據(jù)建模日益得到關(guān)注。緊接著，Linton教授介紹了連續(xù)時間計量經(jīng)濟學(xué)中的基本概念，包括隨機過程的樣本路徑、布朗運動、隨機積分、擴散過程 (及其滿足的隨機微分方程的解的唯一性、平穩(wěn)性)等。除此之外，Linton教授還解釋了由布朗運動拓展到擴散過程的必要性，以及擴散過程的密度函數(shù)、漂移函數(shù)、擴散 (波動率) 函數(shù)三者之間的依賴關(guān)系和啟示。

隨后，基于對漂移函數(shù)、擴散函數(shù)的不同設(shè)定，Linton教授總結(jié)了三種基本的擴散過程模型 (參數(shù)模型、半?yún)?shù)模型、非參數(shù)模型)，兩種觀測值類型 (時間間隔相等或者不相等)，以及三種漸近理論框架 (Infill、Long span或兩者混合)，其中Infill指在固定長度的區(qū)間內(nèi)，連續(xù)兩個觀測值之間的最大時間間隔隨樣本數(shù)量增加而趨于0，Long span指在長度增加的區(qū)間內(nèi)，連續(xù)兩個觀測值之間的最小時間間隔并不隨樣本增加而趨于0。在參數(shù)識別方面，Linton教授特別強調(diào)了，僅僅依賴Infill理論無法識別漂移函數(shù)，然而Infill和Long span理論下均可以識別擴散函數(shù)并得到一致估計量。

在對擴散模型的估計方面，Linton教授分別介紹了對參數(shù)模型、半?yún)?shù)模型、非參數(shù)模型不同的處理方式。首先是參數(shù)模型，Linton教授表示，基于極大似然方法估計參數(shù)擴散模型時，所需要的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)往往涉及到求解偏微分方程，此時計算量較大。因此，Linton教授介紹了廣義矩估計方法，其核心思想是基于無窮小生成算子來構(gòu)造一系列矩條件，從而可以對漂移函數(shù)和擴散函數(shù)中的有限維參數(shù)進(jìn)行估計以及發(fā)展?jié)u近理論。

針對Long span下的半?yún)?shù)模型，假設(shè)漂移函數(shù)具有參數(shù)形式，擴散函數(shù)的形式完全未知，Linton教授講授了OLS和核方法結(jié)合可以對有限維參數(shù)和無窮維函數(shù)進(jìn)行估計。針對Infill下的非參數(shù)模型，Linton教授介紹兩篇代表性論文：Jiang and Knight (1997) 利用核函數(shù)方法估計擴散函數(shù)，并證明估計量的極限分布為混合正態(tài)，Bandi and Phillips (2002) 則在Infill和Long span結(jié)合的框架下，同時對漂移函數(shù)和擴散函數(shù)進(jìn)行非參數(shù)核估計，并且建立了兩者的混合漸近正態(tài)性。

Linton教授進(jìn)一步介紹了高頻數(shù)據(jù)下的二次變差 (Quadratic variation)的定義，并指出了二次變差與波動率的關(guān)系、二次變差存在的充分條件及其經(jīng)濟學(xué)含義。隨后，Linton教授引入已實現(xiàn)波動率的概念，在布朗半鞅 (Semi-martingales)模型、帶跳躍的擴散模型中，已實現(xiàn)波動率是二次變差的一致估計量，并且具有混合漸近正態(tài)性。

然而，Linton教授為大家展示了，從實際數(shù)據(jù)來看，已實現(xiàn)波動率隨著數(shù)據(jù)頻率增加往往并不會收斂，這顯然與Infill框架下已實現(xiàn)波動率的一致性理論不符合。對此，Linton教授表明，學(xué)術(shù)研究顯示市場微觀結(jié)構(gòu) (Market microstructure) 可以對此現(xiàn)象進(jìn)行解釋，并且講解了市場微觀結(jié)構(gòu) (噪音) 的主要來源，從而引入了測量誤差模型，即可觀測的價格是潛在價格 (有效價格) 與微觀噪音兩者之和。

在假設(shè)微觀噪音為IID的測量誤差模型中，通過理論推導(dǎo)，Linton教授分析了此時使用全部數(shù)據(jù)將無法使得已實現(xiàn)波動率是二次變差的一致估計量，這直接啟發(fā)了使用低頻數(shù)據(jù)的解決思路。特別地，Linton教授為大家展示了低頻數(shù)據(jù)的直覺，并且由此衍生的子抽樣方法能保證已實現(xiàn)波動率依然是二次變差的一致估計，同時也具有相應(yīng)的漸近分布。關(guān)于對二次變差的估計，Linton教授還介紹了已實現(xiàn)核 (Realized kernel) 方法和預(yù)平均 (Pre-averaging) 方法，兼顧理論公式和直覺上的講解。最后，Linton教授強調(diào)了微觀噪音IID的假設(shè)往往過于強，將其放松到允許存在序列相依性具有理論和現(xiàn)實必要性。

7月20日

在7月20日的講座中，針對可加的微觀噪音模型，Linton教授首先列舉了一些經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用，并介紹了建模目標(biāo)、識別問題，強調(diào)了本門課程的關(guān)注點在于微觀噪音本身 (如噪音的自協(xié)方差函數(shù))。有鑒于此，Linton教授假設(shè)不可觀測的有效價格服從伊藤半鞅過程，假設(shè)微觀噪音具有乘積形式，從而建立了一個一般的可加的微觀噪音模型。

為了估計微觀噪音的自協(xié)方差函數(shù)，Linton教授介紹了三種主要方法，即 Jacod et al. (2017) 的局部平均方法，Da and Xiu (2021) 的QMLE 方法，以及 Li and Linton (2022) 的ReMeDI 方法。然而，由于局部平均方法估計中涉及到兩步法，其往往會產(chǎn)生不可忽略的偏誤項；而QMLE方法對噪音項服從的MA過程有著苛刻的要求。Linton教授提出的ReMeDI方法的核心思想是通過對可觀測的價格進(jìn)行長滯后期差分，從而用形成的二階估計量來估計噪音的自協(xié)方差函數(shù)，這能夠?qū)崿F(xiàn)消除偏誤的目標(biāo)，并且估計量依然是一致的，它還對信噪比、調(diào)節(jié)參數(shù)、觀測頻率具有穩(wěn)健的表現(xiàn)，相比于其它兩種方法，ReMeDI方法的計算更為方便。

在對ReMeDI方法的理論分析方面，首先，Linton教授通過對噪音的自協(xié)方差估計量進(jìn)行分解，從而講解了為何ReMeDI估計量具有一致性。在估計量的二階及更高階性質(zhì)方面，Linton教授講解了一系列的理論結(jié)果。這包括，第一，Infill和Long span 兩種情形下的漸近正態(tài)性及其穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤估計量。第二，利用一種投影的方法保證自協(xié)方差矩陣估計量的正定性。第三，在噪音序列的序列相依性為指數(shù)衰減 (弱相依性) 和多項式衰減 (強相依性) 的兩種情形下，Linton教授基于偏差-方差權(quán)衡推導(dǎo)出了非參估計窗寬的最優(yōu)理論速率，并給出了選擇窗寬的可行準(zhǔn)則。

隨后，Linton教授介紹了關(guān)于可加微觀噪音模型的現(xiàn)存其它研究，包括噪音很小時對噪音自協(xié)方差的推斷、檢驗噪音的存在性、噪音具有內(nèi)生性，噪音中存在異方差和隨機時間變化時的ReMeDI方法，以及基于ReMeDI方法的幾種新的市場流動性測度。

在講座最后，Linton教授指出了未來潛在的一些研究方向。例如，將ReMeDI方法與最小距離方法或GMM方法結(jié)合來提高估計有效性，利用局部平穩(wěn)假設(shè)來替代噪音中的乘積形式，將可加微觀噪音模型拓展到多元序列情形，對噪音過程的非線性泛函 (如 Quantilogram) 進(jìn)行估計和統(tǒng)計推斷。

（文/徐衛(wèi)超 王學(xué)新 圖/徐衛(wèi)超）