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數(shù)據(jù)采集和存貯技術(shù)的飛躍發(fā)展，孕育了眾多領(lǐng)域的大數(shù)據(jù)。大數(shù)據(jù)出現(xiàn)在包括金融、經(jīng)濟、管理等各種領(lǐng)域，為計量經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展帶來了前所未有的機遇和挑戰(zhàn)。在過去的二十年間，大型因子模型被廣泛地用來分析高維數(shù)據(jù)。經(jīng)濟學(xué)和金融學(xué)中的高維數(shù)據(jù)集通常以較大的橫截面維度Ｎ和較長的時間維度Ｔ為特征。而高維因子模型可以用少數(shù)幾個潛在的因子來捕捉到高維變量中的大部分信息，因此得到了經(jīng)管學(xué)科的廣泛關(guān)注。

關(guān)于高維因子模型的理論研究和數(shù)據(jù)分析經(jīng)常是基于線性的假設(shè)。然而實際的宏觀經(jīng)濟運作、企業(yè)經(jīng)營管理經(jīng)常受到國家政策、新技術(shù)革新、全球金融危機等的影響，因此其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)經(jīng)常發(fā)生變化。另外，考慮到大數(shù)據(jù)觀測時間長，樣本容量大的特點，經(jīng)濟學(xué)模型很容易具有結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性和非線性的特征。因此，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的分析在經(jīng)濟數(shù)據(jù)，特別是高維時間序列數(shù)據(jù)上起到至關(guān)重要的作用。忽略高維因子模型中出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性，將會導(dǎo)致錯誤的推斷和預(yù)測。

北京大學(xué)光華管理學(xué)院商務(wù)統(tǒng)計與經(jīng)濟計量系涂云東教授在因子模型及其結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性領(lǐng)域進行了深入研究。由涂云東教授與其指導(dǎo)的博士生馬辰辰共同撰寫的兩篇論文“Group Fused Lasso for large factor model with structural breaks”和“Shrinkage Estimation of Multiple Threshold Factor Models”先后發(fā)表在計量經(jīng)濟學(xué)國際頂級期刊Journal of Econometrics（《計量經(jīng)濟學(xué)雜志》）上。兩篇論文針對經(jīng)濟和金融數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性，在高維因子模型的框架下，提出了關(guān)于結(jié)構(gòu)變點和門限效應(yīng)參數(shù)的全新估計方法，力求提升參數(shù)估計的準確性和計算效率，進而展現(xiàn)計量經(jīng)濟學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的方法在分析經(jīng)濟問題中的廣泛應(yīng)用。

Part.1高維因子模型及其結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性

因子模型采用少數(shù)因子即可捕捉到高維觀測變量中的大部分信息，因此成為分析高維時間序列數(shù)據(jù)的一個重要的工具。尤其是在目前的大數(shù)據(jù)時代，因子模型受到了越來越多的關(guān)注，其模型表達如下：

其中xit是我們觀測到的高維時間序列數(shù)據(jù)，ft是潛在的因子，λi是相應(yīng)的因子載荷，ｅit是殘差項。自從Stock和Watson（2002）以及Bai和Ng（2002）的有影響力的研究以來，計量經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域和統(tǒng)計學(xué)界對高維因子模型中推斷的研究興趣激增，最新發(fā)展包括Bai和Li（2016）、Chen等人（2021）等。

在現(xiàn)有的文獻里，對因子模型理論研究和數(shù)據(jù)分析大多都是基于線性模型假設(shè)（Bai 和 Ng，2002；Bai 和 Li，2012；Bai 和 Liao，2016），也就是說這里的因子載荷λi是一個不隨時間變化的常數(shù)。然而，實際的經(jīng)濟環(huán)境經(jīng)常會受到科技突破、政策發(fā)布、金融危機等的影響，因此其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)經(jīng)常發(fā)生變化，這使得上述的線性因子模型的假設(shè)在實際的數(shù)據(jù)分析中變得十分脆弱?？紤]到大數(shù)據(jù)觀測時間長，樣本容量大，因子模型可能具有結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性和非線性特征。因此，為了解決真實復(fù)雜大數(shù)據(jù)中的因子降維，帶有結(jié)構(gòu)性變化的大型因子模型和非線性因子模型成為近年來研究的熱點。

Part.２高維因子模型中的結(jié)構(gòu)變點估計

Stock 和 Watson(2002, 2009)研究得出結(jié)論，當(dāng)因子載荷出現(xiàn)小的（局部收斂到0）突變時，通過主成分分析估計的因子同樣具有一致性。但是Breitung 和 Eickmeier(2011)發(fā)現(xiàn)如果忽視因子載荷中的突變，將可能會導(dǎo)致識別出更多因子的錯誤結(jié)果。于是學(xué)者針對因子模型中的結(jié)構(gòu)變點陸續(xù)提出了不同的檢驗和估計的方法（Chen et al.，2014；Han 和 Inoue，2015；Su 和 Wang，2017；Ma 和 Su，2018；Baltagi et al.，2017，2020）。大部分的研究僅僅關(guān)注于因子載荷中只存在一個變點的情況。但是在大數(shù)據(jù)時代，研究者越來越致力于研究更高維的數(shù)據(jù)集，這些數(shù)據(jù)會包含數(shù)百個變量，并包含極大的時間跨度，部分甚至所有的變量都可能在采樣周期發(fā)生超過一個突變。但是目前關(guān)于多個變點的研究中，通常會存在調(diào)節(jié)參數(shù)或待估參數(shù)過多的問題，從而使得方法過于復(fù)雜，理論研究難度較大。所以當(dāng)因子模型中存在多個結(jié)構(gòu)性變點時，簡單易行的估計和檢驗方法亟待提出?！?/span>

涂云東教授等2023年發(fā)表的論文很好地解決了這一問題 (Ma 和 Tu,2023a)。他們考慮在大型因子模型中，因子載荷中存在的多個變點的估計問題。也就是說因子載荷λi在時間維度上被劃分成多個時段：

這里結(jié)構(gòu)變點為t1, ... ,tm，αi1, ... ,αim+1，為因子載荷λi在不同時段上的取值，相鄰兩段上的因子載荷互不相同。

該論文拓展了Chen等人（2014）關(guān)于單一變點的結(jié)果，將因子載荷中結(jié)構(gòu)變點的識別問題轉(zhuǎn)化為因子回歸方程中系數(shù)的結(jié)構(gòu)變點估計，然后提出了一種基于group Lasso 的估計方法來識別變點日期。這里考慮的因子模型允許變點的數(shù)量和日期都未知。此外，這篇論文允許因子個數(shù)隨著時間的變化而變化，也就是說變點前后可能有新的因子出現(xiàn)，也可能有舊的因子消失。估計方法可以通過簡單的兩個步驟實現(xiàn)：首先，忽略變點，用主成分方法估計因子，并用Bai 和 Ng(2002)提出的信息準則估計因子的數(shù)量。其次，用其中的一個估計的因子（例如，擁有最大特征值的因子）作為因變量，其余的因子作為自變量進行線性回歸。將因子載荷中突變點的估計轉(zhuǎn)換為線性回歸方程的突變點的估計問題。因此可以用Group Fused Lasso的方法（Qian 和 Su, 2016）將回歸方程中所有突變點同時估計出來。

該論文在理論上建立了變點估計量的一致性并推導(dǎo)了其漸進分布。同時，數(shù)值模擬表明，與現(xiàn)有方法的結(jié)果進行比較，該方法在大幅度提升估計效率的同時得到相對較小的估計誤差。最后，論文將該方法運用到美國宏觀經(jīng)濟的數(shù)據(jù)進行實證研究。這個數(shù)據(jù)集包含108個美國月度的宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)集，包括實際經(jīng)濟活動指標、價格、利率、貨幣和信貸總量、股票價格和匯率等變量。其時間跨度從1959年1月份到2006年12月份。通過建模和分析，該研究識別出5個變點，分別是1979年9月、1983年9月、1990年11月、1995年7月和2000年5月。這些變點對應(yīng)于伊朗革命、大緩和時期、勞動生產(chǎn)率的提升和經(jīng)濟衰退等。

Part.3高維因子模型的多門限估計

考慮高維因子模型結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的另外一種模型是最近被頻繁研究的門限因子模型。門限因子模型和帶有多變點的因子模型相似卻又不同。一個主要的區(qū)別在于，變點模型的變化是發(fā)生在時間維度上的，而門限模型則是允許因子載荷根據(jù)門限變量的大小發(fā)生變化。所以，門限因子模型更適合于描述一些歷史重復(fù)的現(xiàn)象。在文獻中，Ng和Wright（2013）模擬了一個符合高維門限因子模型的數(shù)據(jù)，以研究非線性對商業(yè)周期動態(tài)的影響。Massacci（2017）和Liu和Chen（2020）考慮了高維時間序列的門限因子模型，其中假設(shè)時間序列在兩種狀態(tài)之間切換。Wu（2021）進一步將Massacci（2017）的分析拓展到一個帶有多個門限的因子模型中。門限因子模型不僅為降維提供了一個強大的工具，還增強了建模的靈活性，提供了一個更易于解釋和預(yù)測的框架，可以輕松捕捉潛在的非線性。

高維多門限因子模型中載荷的建模具體為：

這里的zt是可觀測的門限變量，根據(jù)其取值大小因子模型被分成不同的區(qū)制。γ1, ... ,γm是待估的門限值。αi1, ... ,αim+1為因子載荷λi在不同區(qū)制上的取值，且相鄰區(qū)制上的取值不同。

涂云東教授及其合作者2023年的另一篇文章對這種門限驅(qū)動的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性進行了詳細地闡述，并提供了一種創(chuàng)新的估計方法(Ma和Tu, 2023b)。僅僅借助于重排、主成分分析和壓縮估計，該方法能夠?qū)㈤T限的個數(shù)和參數(shù)值一致地估計出來，并且在操作上簡單易實施，計算上也能大大提高效率。估計方法包含兩個主要的步驟。第一，文章通過將可觀測的時間序列xt按照門限變量zt的大小進行重排，將多門限因子模型轉(zhuǎn)化為多變點因子模型；第二步運用涂云東教授提出的因子模型變點估計方法 (Ma and Tu,2023a)識別變點，繼而根據(jù)變點的位置找到相應(yīng)門限變量的值來對門限值進行估計。具體的方法介紹參見Ma和Tu（2023b）。

理論方面，他們證明了門限數(shù)量和估計值的一致性。蒙特卡洛模擬表明該方法在有限樣本中估計得很好。進而，文章將提出的方法運用到分析美國金融市場數(shù)據(jù)的分析中。數(shù)據(jù)跨度為1985年1月到2011年12月，共有324個月度觀測值。這里使用的門限變量zt是Baker等人在2016年提出的關(guān)于經(jīng)濟政策不確定性的衡量指標。正如Baker等人所說，經(jīng)濟政策不確定性指數(shù)與國防、醫(yī)療保健、金融和基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)等政策敏感部門的股價波動和就業(yè)有關(guān)。當(dāng)政策不確定性不同時，金融市場的行為也相應(yīng)有所不同，因此文章中通過提出的多門限因子模型來研究經(jīng)濟政策不確定性是如何影響金融市場，計算了多元非線性動態(tài)系統(tǒng)中的連通性(connectedness) (Massacci, 2017),評估了每個區(qū)制中因子的重要性，最后也對比了門限因子模型和結(jié)構(gòu)變點因子模型的有效性。

該表格截取自涂云東教授文章中(Table 5, Ma 和 Tu, 2023b)。從該表可以看出，隨著經(jīng)濟政策不確定性的增加，連通性逐漸增加，這說明經(jīng)濟變量之間的相關(guān)性變強，可能會增加系統(tǒng)風(fēng)險水平。這一發(fā)現(xiàn)有利于風(fēng)險的衡量和管理。因子的個數(shù)在不同區(qū)制中也有所不同。涂云東教授在文章中也分析了每段中因子所代表的具體含義，發(fā)現(xiàn)與市場風(fēng)險相關(guān)的變量在金融市場中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。尤其是在第二個區(qū)制中，7個因子中有5個與風(fēng)險有關(guān)。此外，隨著經(jīng)濟政策不確定性的增加，一些行業(yè)投資組合，如食品和煤炭行業(yè)，在金融市場中占據(jù)著越來越重要的地位。

涂云東，北京大學(xué)光華管理學(xué)院商務(wù)統(tǒng)計與經(jīng)濟計量系和北京大學(xué)統(tǒng)計科學(xué)中心聯(lián)席教授，研究員。入選首批“日出東方”北大光華青年人才，教育部“長江學(xué)者獎勵計劃”青年長江學(xué)者，兩次獲評北京大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文指導(dǎo)教師。2012年獲美國加州大學(xué)河濱分校經(jīng)濟學(xué)博士學(xué)位，同年6月加入北大光華。三十余篇學(xué)術(shù)論文發(fā)表在Journal of Econometrics， Econometric Reviews , Journal of Business and Economic Statistics，Oxford Bulletin of Economics and Statistics ，Statistica Sinica ，Journal of Empirical Finance，Computational Statistics and Data Analysis等國際一流專業(yè)雜志。理論研究領(lǐng)域涵蓋非參數(shù)/半?yún)?shù)計量經(jīng)濟模型，模型選擇和模型平均，網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)建模，金融計量，信息計量經(jīng)濟學(xué)，模型設(shè)定檢驗等；應(yīng)用研究包含宏觀經(jīng)濟預(yù)測，價格指數(shù)建模，網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)分析，股票市場預(yù)測，新冠肺炎預(yù)測等。